Also
als erstes muss die kleine zum arzt. besorg dir ne transportbox, teuer sind die nicht, und stell futter rein. gewöhn sie so an die box. und wenn du nen termin hast machst du die klappe zu. funktioniert aber meist nur ein oder 2mal, gewalt ist oft nötig um ne katze zum arzt zu bekommen. lass die kiste auch hinterher rumstehen, vllt verzeiht sie der kiste und nimmt sie als schlafplatz an. dann hast dus einfacher.
der arzt soll sie kastrieren (sonst hast du bald bis zu 10 katzen...) falls das nicht schon geschehen ist und nach nem chip gucken. vllt vermisst jemand die kleine.. und geimpft werden sollte sie.
beim tierheim könntest du auch bescheid geben, mit foto, dass dir ne katze zugelaufen ist.
rechtlich ist eine katze ein gegenstand und eine zugelaufene katze ne fundsache. als solche muss sie beim fundbüro angemeldet werden.
füttern.. am besten nass. nassfutter ist gesünder als trockenfutter.
das mit dem nicht drinnenbleiben wollen ist fehlendes vertrauen in menschen allgemein und/oder dich im besonderen.. möchtest du sie adoptieren? wenn ja lass sie immer wieder mal ins haus rein. sie wird die vorzüge eines trockenen windstillen sicheren orts zu schätzen lernen und irgendwann auch ne geschlossene tür akzeptieren.